Não. Jogos de Xbox original não são compatíveis com Xbox 360 — rodam em arquiteturas de hardware e software completamente diferentes. Embora o Xbox 360 possa output 1080p para seus próprios títulos, não pode rodar jogos de Xbox original em nenhuma resolução.
Para jogar jogos de Xbox original, você precisa de um console Xbox original, que maxa em 480p/720p e não suporta output 1080p.