Depende de como você está instalando o jogo:
Se você estiver usando um disco físico: *
Sim, o jogo ainda estará instalado. Quando você insere o disco no Xbox do seu amigo, ele lê os dados do jogo e os instala. Isso ocorre porque o disco atua como fonte para os arquivos do jogo.
Se você estiver usando uma cópia digital (baixada da Loja Xbox): *
Não, o jogo não será instalado. As cópias digitais estão vinculadas à sua conta Xbox e ao console específico em que foram baixadas. Mover o disco rígido para um Xbox diferente não transferirá os arquivos do jogo e seu amigo precisará comprar o jogo novamente ou usar sua conta no console dele.
Nota importante: Mover um disco rígido entre consoles pode causar problemas. Mesmo que os arquivos do jogo estejam presentes, você pode encontrar problemas com o jogo reconhecendo sua conta ou com o Xbox reconhecendo a instalação.
É melhor limitar-se ao compartilhamento de cópias físicas dos jogos quando se trata do Xbox. Esta é a maneira mais confiável de garantir que o jogo possa ser jogado no console do seu amigo.