Para entender manifestação matemática de divergência , em primeiro lugar considerar uma função vetorial diferenciável v ( x , y, z) , onde x , y e z são coordenadas cartesianas. Além disso , vamos V1, V2 e V3 ser os componentes de v . A divergência de um campo vetorial é o produto escalar entre o operador divergência e a função de campo vetorial. A fórmula para a divergência do campo vetorial v pode, portanto, ser definido como:
div v = (& parte ; v1 /& parte ; x ) + ( & parte ; v2 /& parte ; y) + (& parte ; v3 /& parte , z )
divergência pode ser entendida como a derivada parcial de cada componente em relação ao seu plano de coordenadas cartesianas . Produtos Dot produzir soluções escalares. Assim, o operador divergência produz uma solução a partir de escalar um campo vetorial , sugerindo div v ser uma indicação de magnitude sem direção .
Um major Assunção
O conceito básico subjacente a divergência faz uma grande hipótese de que, em função caracterizando uma propriedade física ou geométrica , os valores são independentes da escolha particular de coordenadas . Na verdade, este é o caso. O fluxo para fora é assumido estar se movendo para longe da fonte com relativa uniformidade . Divergência pode ser entendida como uma taxa qualitativa para este fluxo ou fluxo.
Invariance da divergência
Os valores para div v depender dos pontos no espaço e a função matemática associada . Os valores são invariáveis com relação à transformação de coordenadas . Selecionando uma opção diferente para o coordenadas cartesianas x * , y * e * z e componentes v1 correspondentes * , v2 e v3 * * para a função v resultará na mesma equação . Esta invariância da divergência continua a ser um teorema fundamental associado a este operador em particular
Com relação a quaisquer outras coordenadas no campo de vetores e seus componentes de função correspondente , o cálculo divergência continua o mesmo: . A divergência é o produto escalar entre o operador eo campo vetorial , ou a derivada parcial de cada componente em relação ao seu plano de coordenadas cartesianas .
Levado para o Próximo Nível
Divergência desempenha um importante papel no cálculo avançado . A operação está subjacente uma das "grandes" teoremas integrais , que podem ser usados para transformar cálculos extremamente complexos em mais problemas razoáveis . Este procedimento é conhecido como teorema da divergência de Gauss .
Imagine uma região fechada delimitada no espaço, chamado de T, com uma superfície lisa por partes S para sua fronteira. Suponha que n é a unidade externa vetor normal da superfície S. Deixe a função vetorial F ( x , y, z) tanto ser contínua e ter contínuas primeiras derivadas parciais em algum domínio contendo T. teorema da divergência de Gauss afirma a integral tripla de a divergência de F ao longo de um volume pode ser equiparado à dupla integrante do produto escalar entre F e n sobre uma área . Assim, integrais de volume complexas podem ser transformadas em integrais de superfície mais gerenciáveis através de uma compreensão e extrapolação da divergência de um campo vetorial.