Não, o Xbox Live
não o mesmo para Xbox 360 e Xbox One. São serviços separados com diferentes recursos e funcionalidades.
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Xbox Live para Xbox 360 é um serviço legado que não é mais suportado. É usado principalmente para compatibilidade com versões anteriores e conexão com jogos mais antigos.
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Xbox Live para Xbox One é o serviço atual e oferece recursos como jogos online, armazenamento em nuvem, serviços de streaming e muito mais. Também é usado para Xbox Series X|S.
Embora alguns recursos como seu Gamertag e conquistas possam ser transferidos entre os dois, você precisa de assinaturas separadas para cada plataforma.