Como calcular os Subgrupos de Zn

Os grupos cíclicos são um subconjunto de todos os grupos com uma estrutura particularmente fácil de entender . Em particular , os grupos cíclicos podem ser representados por um conjunto de números com módulo aritmético . Por exemplo , Z15 pode ser formado pelos números de 0 a 14 , com 16 igual a 1 , 17 , igual a 2 e assim por diante . Estes grupos cíclicos tem uma matemática própria. Uma questão particularmente interessante , que produz insights profundos em aulas de graduação de matemática , é o que subconjuntos destes grupos formam próprios grupos . Instruções
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Fator de ordem de seu grupo. Por exemplo, se o grupo tem 18 elementos , sua ordem é de 18 : 18 = 2 x 3 x 3 Se o grupo tem 30 elementos , sua ordem é 30: 2 x 3 x 5
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Determinar todos os números de possíveis que se podem dividir uniformemente no fim do grupo , com base na fatoraç~ao feito no Passo 1 em um grupo de ordem 18 , o que daria 2 , 3 , 6 e 9 de um grupo de ordem 30 , isso dá 2, 3, 5, 6, 10 e 15
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Entenda que cada subgrupo de seu grupo cíclico deve ser da ordem de um fator de ordem a sua principal do grupo. Por exemplo , para o grupo cíclico de ordem 18 , um sub-grupo adequado --- ou um subgrupo que é maior do que um elemento e menor do que 18 elementos --- deve ser da ordem de 2 , 3 , 6 ou 9 , uma vez que estes são os apenas os números que podem fator em 18 Além disso, cada subgrupo de um subgrupo de um grupo cíclico deve ser ele mesmo um grupo cíclico .
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Encontre o menor elemento de cada um dos números encontrados na Etapa 2. no grupo de 18 fim , com a adição , 2 é o elemento mais pequeno da ordem de 9 ( desde 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 ) , 3 é o elemento mais pequeno da ordem de 6 ( desde 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 ) , 6, é o elemento mais pequeno da ordem de 3 ( desde 6 + 6 + 6 = 18 ) e 9 é o elemento mais pequeno da ordem de 2 ( desde 9 + 9 = 18 ) .
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Determine os subgrupos formados por esses elementos . No grupo cíclico de ordem 18 , o subgrupo gerado por 2 é o grupo { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 } . O subgrupo gerado por 3 é o grupo { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 } , e que é gerado por 6 { 0 , 6 , 12 } . O subgrupo cíclico de ordem 2 é o grupo { 0 , 9 } . Graças à combinação das propriedades discutidas na Etapa 3 , existe sempre exactamente um subgrupo de um grupo cíclico , para cada número que pode dividir uniformemente no fim do grupo .