Gamertag = seu ID permanente na Xbox Live. Todos veem em multiplayer/festas. Microsoft não tem ferramenta oficial (site ou console) para checar disponibilidade sem tentar registrar. Sites da comunidade fazem isso.
Dica: se quiser registrar, faça direto no console (Meu Xbox → Perfil → Alterar Gamertag) ou no site Xbox.com logado. Primeira troca grátis; depois custa (era 800 MS Points).